Vamos
a ver una serie de circuitos que se van a caracterizar porque procesan
señales que sólo tienen dos niveles, y cuyos valores
precisos no son importantes con tal que estén en un nivel o en otro
de los definidos. Son señales binarias y los circuitos correspondientes
se denominan indistintamente, circuitos de conmutación, circuitos
lógicos o circuitos digitales
La
primera parte de nuestro estudio comprende, primeramente, las bases del
álgebra de conmutación, cuya herramienta matemática,
el álgebra de Boole, nos va a permitir el análisis y diseño
de los circuitos electrónicos digitales.
Seguidamente
estudiaremos las familias lógicas o circuitos digitales integrados
de que disponemos para nuestras realizaciones.
Por
último presentaremos dos grandes bloques: los circuitos y subsistemas
combinacionales y los secuenciales.
Los
primeros se podrán definir como aquellos en que el estado lógico
de sus salidas depende únicamente de los niveles de sus entradas
en ese mismo instante, es decir no hay efectos de tiempos o memoria.
En
los segundos, el nivel de salida en un instante dado depende no solamente
de las entradas en ese instante, sino del estado interno del sistema, el
cual es fruto de las entradas en instantes anteriores, es decir, hay memoria.
Algebra de
Boole.
Definición:
Un conjunto B dotado con dos operaciones algebraicas más (+) y por
(.) es un álgebra de Boole, sí y sólo sí se
verifican los postulados:
1º
Las operaciones + y . son conmutativas.
2º
Existen en B dos elementos distintos representados por los símbolos
0 y 1, respectivamente, tal que :
a
+ 0 = 0 + a = a Para todo elemento a que pertenece a B
a
.
1 = 1 . a = a Para todo elemento a que pertenece
a B
El símbolo
0 es el elemento identidad para la operación
"
+ " y
el símbolo
1 es el elemento identidad para la operación
" .
"
3º
Cada operación es distributiva para la otra, esto es:
a
+ (b . c) = (a + b) . (a + c)
a
.
(b + c) = (a . b) + (a . c)
4º
Para cada elemento de B, por ejemplo el elemento a, existe un elemento
a' también perteneciente a B tal que:
a
+ a' = 1
a
.
a' = 0
Ejemplos:
Sea
el conjunto B = { 0,1 }, y las dos operaciones + y . definidas
0
+ 0 = 0
0
+ 1 = 1
1
+ 0 = 1
1
+ 1 = 1
0
.
0 = 0
0
.
1
= 0
1
.
0
= 0
1
.
1 = 1
Interruptor
abierto
equivale a
nuestro 0 lógico
Cerrado
equivale a nuestro 1 lógico
La
combinación
es equivalente a
es
decir : dos interruptores abiertos puestos en serie equivale a un solo
interruptor abierto
es
equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que 0 .
0 = 0
La
combinación
es equivalente a
es
decir : un interruptor abierto en serie con un interruptor cerrado equivale
a un interruptor abierto
es
equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que 0 .
1 = 0 por
la misma razón podemos decir que 1 . 0 = 0
La
combinación
es equivalente a
es
decir : un interruptor cerrado en serie con otro cerrado equivale a un
solo interruptor cerrado
es
equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que 1.
1 = 1
La
combinación
es equivalente a
es
decir : dos interruptores abiertos puestos en paralelo equivale a un solo
interruptor abierto
es
equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que 0 +
0 = 0
La
combinación
es equivalente a
es
decir : un interruptor abierto en paralelo con un interruptor cerrado equivale
a un interruptor cerrado
es
equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que 1 +
0 = 0 por
la misma razón podemos decir que 0 + 1 = 1
La
combinación
es equivalente a
es
decir : un interruptor cerrado en paralelo con un interruptor cerrado equivale
a un interruptor cerrado
es
equivalente a decir en nuestra álgebra de Boole que 1 +
1 = 1
Términos
canónicos
Se
llama término canónico de una función lógica
a todo producto o suma en el cual aparecen todas las variables de que depende
esa función. A los términos productos se les llama productos
canónicos y a los términos sumas, sumas canónicas.
Formas canónicas
Cuando
una función se expresa como suma de productos canónicos o
como producto de sumas canónicas, se dice que dicha función
se en cuentra expresada en su forma canónica.
Formas equivalentes
Dos
expresiones booleanas, F1 y F2, son equivalentes, es decir F1=F2, sí
y sólo sí describen la misma función de conmutación.
Comprobaremos que formas booleanas diferentes pero equivalentes, conducirán
a circuitos de conmutación distintos aunque realicen la misma función.
Tabla de verdad
La
tabla de verdad de una función lógica es una forma de representación
de la misma, en la que se indica el valor 0 ó 1 que toma la función
para cada una de las combinaciones de valores de las variables de dicha
función
En
la columna de la izquierda se han ido numerando las combinaciones posibles
de valores que siempre es igual a 2 elevado al número de variables
(n), es decir 2n, en nuestro caso 23=8.
De
la tabla de verdad de una función lógica, es fácil
deducir las formas canónicas de la función.
Así
pues, si queremos que la función F de nuestro ejemplo esté
expresada como suma de productos canónicos deberemos asegurarnos
que para cada una de las combinaciones de la tabla de verdad en que la
función valga 1 obligaremos a que el término canónico
valga también 1. Por ejemplo para la combinación a=0 b=0
y c=1 de la tabla de verdad vemos que la función vale 1 así
pues nuestro término canónico será a'. b'. c
, debemos entender que a' significa que la variable a
está negada.
Observemos
que el término a'. b'. c vale 1 para la combinación
0 0 1 y sólo para esa combinación, cualquier otra haría
que nuestro producto canónico a'. b'. c sea 0.
Construyendo
la función con todos sus términos llegaremos a la conclusión
que para:
La
combinación 010 el término será a'. b. c' La
combinación 100 el término será a . b'. c' La
combinación 101 el término será a . b'. c La
combinación 110 el término será a . b. c' La
combinación 111 el término será a . b. c
Con
lo que la función F correspondiente a la tabla de verdad anterior
será:
F
= a'. b'. c + a'. b. c' + a . b'. c'+ a . b'. c + a . b . c' + a . b .
c
Observemos
que tenemos 6 términos que se corresponden con los seis 1 de la
función.
Otra
forma de expresarla es F = S
( 1, 2, 4, 5, 6, 7 ) S
significa suma
F
= Sumatorio de términos canónicos en que la función
vale 1
También
podemos recurrir a realizar la función como producto de sumas canónicas,
en este caso nos fijaremos en los 0 de la función y así para
la combinación 000 y 011 nuestra función vale 0. Por tanto
el término correspondiente a la combinación 000 será
( a + b + c ), y observamos que este término sólo vale 0
para la combinación 000 y para cualquier otra vale 1.Del mismo modo
para la combinación 011 el término será ( a + b' +
c' ) y observamos también que este término sólo vale
0 para la combinación 011, cualquier otra hará que dicho
término valga 1.
Nuestra
función expresada como producto de sumas canónicas nos quedará:
F
= ( a + b + c ) ? ( a + b' + c' )
Observemos
que tenemos 2 términos que corresponden con los dos 0 de la función.
Otra
forma de expresarla es F = P
( 0, 3 ) P
significa producto
F
= Producto de términos canónicos en que la función
vale 0
Las
tabla de verdad nos permiten comprobar si dos expresiones lógicas
distintas son equivalentes, es decir reproducen la misma función
de conmutación.
F1
= a'. b'. c + a'. b. c' + a . b'. c'+ a . b'. c + a . b . c' + a . b .
c F2
= ( a + b + c ) ? ( a + b' + c' )
Estas
dos funciones aparentemente distintas son equivalentes pues ambas tienen
la misma tabla de verdad.
Algunos teoremas
en el álgebra de Boole
1º
Para cualquier elemento b del álgebra de Boole se verifica:
b
= b + b b
= b . b
Demostración:
Sabemos que (1) b = b + 0 y que (2) b . b' = 0 Sustituyendo
el 0 de la ecuación (1) por su valor en (2) nos queda que
b
= b + b . b'
aplicando
la propiedad distributiva no queda entonces
b
= ( b + b ) . ( b + b' )
como
b + b' = 1 entonces
b
= ( b + b ) . 1
luego
queda demostrado que b = b + b
2º
Para cualquier elemento b perteneciente al álgebra de Boole se verifica:
b
+ 1 = 1 b
. 0 = 0
b
+ 1 = 1 Esto es lógico ya que si hemos asociado que el valor
1 es equivalente a un interruptor cerrado y el signo + a que los dos elementos
b y 1 están en paralelo deduciremos que sea cuál sea el valor
de la variable b, si está en paralelo con un interruptor cerrado
el resultado eléctrico es que estamos cortocircuitando a la variable
b y el resultado será 1. b
. 0 = 0 También es lógico ya que si asociamos 0
como un interruptor siempre abierto y la operación ( . = por ) como
que está en serie con el elemento b, el resultado será equivalente
a tener siempre un circuito abierto es decir 0.
3º
Para cada par de elementos en un álgebra de Boole se verifica
Ley
de absorción
a
+ a . b = a a
. ( a + b ) = a
Demostración
: Como a . 1 = a y ( 1 + b ) = 1
a
+ a . b = a . 1 + a . b = a . ( 1 + b ) = a . 1 = a
4º
En un álgebra de Boole las operaciones suma, producto son asociativas.
a
+ ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c a
. ( b . c ) = ( a . b ) . c = a . b . c
5º
Para cada elemento b en un álgebra de Boole su complemento ( negado)
b' es único.
