EJERCICIO Nº 3 MATEMÁTICAS C. O. U. 

Rectas y Planos

Hallar la posición relativa de los dos planos siguientes para los tres valores de a que se indican:
p1:    x - 3 y + 2 z  =   1
p2: 2 x - 6 y + a2 z = - a
1º) Para a = 2
2º) Para a = -2
3º) Para a = 1
 

 Solución

1º) Para a = 2

p1:    x - 3 y + 2 z  =   1
p2: 2 x - 6 y + 4 z  =  2
Aplicando el Teorema de Rouché:
Matriz de coeficientes = M   Matriz ampliada = N

Rango(M) = 1
Rango(N) = 2

Sistema incompatible =>  los dos planos son distintos y paralelos (no tienen ningún punto en común)
 

2º) Para a = - 2

p1:    x - 3 y + 2 z  =   1
p2: 2 x - 6 y + 4 z = - 2
Aplicando el Teorema de Rouché:
Matriz de coeficientes = M   Matriz ampliada = N

Rango(M) = 1
Rango(N) = 1

Los planos son coincidentes

3º) Para a = 1

p1:    x - 3 y + 2 z  =   1
p2: 2 x - 6 y + 1 z = - 1
Aplicando el Teorema de Rouché:
Matriz de coeficientes = M   Matriz ampliada = N

 

Rango(M) = 2
Rango(N) = 2

Sistema compatible (indeterminado)  =>  los dos planos son distintos y se cortan (según una recta)